Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点．

（1）求证：AC2=ABAD；

（2）求证：CE∥AD；

（3）若AD=5，AB=7，求的值．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)．

【解析】

试题分析：（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=ABAD；

（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，继而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；

（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．

试题解析: （1）∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAB．

又∵∠ADC=∠ACB=90°，

∴△ADC∽△ACB．

∴AD：AC=AC：AB，

∴AC2=ABAD．

（2）∵E为AB的中点，∠ACB=90°，

∴CE=AB=AE．

∴∠EAC=∠ECA．

∵∠DAC=∠CAB，

∴∠DAC=∠ECA．

∴AD∥CE；

（3）∵CE∥AD，

∴△AFD∽△CFE，

∴AD：CE=AF：CF，

∵CE=AB，

∴CE=×7=，

∵AD=5，

∴，

∴．