Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（12，0）、（12，6），直线y=﹣x+b与y轴交于点P，与边OA交于点D，与边BC交于点E．

（1）若直线y=﹣x+b平分矩形OABC的面积，求b的值；

（2）在（1）的条件下，当直线y=﹣x+b绕点P顺时针旋转时，与直线BC和x轴分别交于点N、M，问：是否存在ON平分∠CNM的情况？若存在，求线段DM的长；若不存在，请说明理由；

（3）在（1）的条件下，将矩形OABC沿DE折叠，若点O落在边BC上，求出该点坐标；若不在边BC上，求将（1）中的直线沿y轴怎样平移，使矩形OABC沿平移后的直线折叠，点O恰好落在边BC上．

Answer 1

【答案】（1）b=12；（2）存在，DM=8﹣ 或DM=8+；（3）沿y轴向下平移个单位，使矩形OABC沿平移后的直线折叠，点O恰好落在边BC上．

【解析】

试题分析：（1）根据直线y=﹣x+b平分矩形OABC的面积，知道其必过矩形的中心，然后求得矩形的中心坐标为（6，3），代入解析式即可求得b值；（2）假设存在ON平分∠CNM的情况，分当直线PM与边BC和边OA相交和当直线PM与直线BC和x轴相交这两种情况，求得DM的值就存在，否则就不存在；

（3）假设沿DE将矩形OABC折叠，点O落在边BC上O′处，连接PO′、OO′，得到△OPO′为等边三角形，从而得到∠OPD=30°，然后根据（2）知∠OPD＞30°，得到沿DE将矩形OABC折叠，点O不可能落在边BC上；若设沿直线y=﹣x+a将矩形OABC折叠，点O恰好落在边BC上O′处，连接P′O′、OO′，则有P′O′=OP′=a，在Rt△OPD和Rt△OAO′中，利用正切的定义求得a值，即可得到将矩形OABC沿直线折叠，点O恰好落在边BC上，于是得到问题的答案.

试题解析：（1）∵直线y=﹣x+b平分矩形OABC的面积，∴其必过矩形的中心，由题意得矩形的中心坐标为（6，3），∴3=﹣×6+b，解得b=12；（2）假设存在ON平分∠CNM的情况，①当直线PM与边BC和边OA相交时，过O作OH⊥PM于H，∵ON平分∠CNM，OC⊥BC，∴OH=OC=6，由（1）知OP=12，∴∠OPM=30°，∴OM=OPtan30°=，当y=0时，由﹣x+12=0解得x=8，∴OD=8，∴DM=8﹣；②如图1，当直线PM与直线BC和x轴相交时，同上可得OM=，OD=8，∴DM=8+.所以存在ON平分∠CNM的情况，DM=8﹣ 或DM=8+；（3）如图2假设沿DE将矩形OABC折叠，点O落在边BC上O′处连接PO′、OO′，则有PO′=OP，又由（1）得BC垂直平分OP，∴PO′=OO′，∴△OPO′为等边三角形，∴∠OPD=30°，而由（2）知∠OPD＞30°，所以沿DE将矩形OABC折叠，点O不可能落在边BC上；如图3设沿直线y=﹣x+a将矩形OABC折叠，点O恰好落在边BC上O′处，连接P′O′、OO′，则有P′O′=OP′=a，由题意得：CP′=a﹣6，∠OPD=∠CO′O，在Rt△OPD中，tan∠OPD=，在Rt△OCO′中，tan∠CO′O=，∴=，即=，解得CO′=9，在Rt△CP′O′中，由勾股定理得：（a﹣6）2+92=a2，解得a=，12﹣=，所以将直线y=﹣x+12沿y轴向下平移个单位得直线y=﹣x+，将矩形OABC沿直线y=﹣x+折叠，点O恰好落在边BC上．