Question

【题目】如图，在锐角△ABC中，AB＝4 ，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（ ）．
A.3
B.4
C.5
D.6

Answer 1

【答案】B
【解析】解答：如图，在AC上截取AE＝AN，连接BE．
∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴∠EAM＝∠NAM，
在△AME与△AMN中， ，
∴△AME≌△AMN（SAS），
∴ME＝MN．
∴BM＋MN＝BM＋ME≥BE．
∵BM＋MN有最小值．
当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，
又AB＝4 ，∠BAC＝45°，此时，△ABE为等腰直角三角形，
∴BE＝4，
即BE取最小值为4，
∴BM＋MN的最小值是4．
所以答案是：B．

分析：从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用三角形的“三线”和轴对称-最短路线问题的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握1、三角形角平分线的三条角平分线交于一点(交点在三角形内部，是三角形内切圆的圆心，称为内心);2、三角形中线的三条中线线交于一点(交点在三角形内部，是三角形的几何中心，称为中心);3、三角形的高线是顶点到对边的距离；注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内；已知起点结点，求最短路径；与确定起点相反，已知终点结点，求最短路径；已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；求图中所有最短路径．