Question

【题目】基本模型：如图1，点A，F，B在同一直线上，若∠A=∠B=∠EFC=90°，易得△AFE～△BCF．

（1）模型拓展：如图2，点A，F，B在同一直线上，若∠A=∠B=∠EFC，求证：△AFE～△BCF；
（2）拓展应用：如图3，AB是半圆⊙O的直径，弦长AC=BC=4 ，E，F分别是AC，AB上的一点，若∠CFE=45°，若设AE=y，BF=x，求y与x的函数关系式．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图2，∵∠A=∠EFC，

∴∠E+∠EFA=∠EFA+∠CFB，

∴∠E=∠CFB，

∵∠A=∠B，

∴△AFE∽△BCF

（2）解：如图3，∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴AB= =8，

∵AC=BC，

∴∠A=∠B=45°，

∴∠A=∠B=∠CFE=45°，

由（1）可得△AFE∽△BCF，

∴ ，

即 ，

∴y=﹣ x2+ x（0≤x≤8），

【解析】（1）利用已知得出∠E=∠CFB，进而利用相似三角形的判定方法得出即可；（2）利用（1）得出△AFE∽△BCF，则 ，进而求出y与x的函数关系式．