Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝16，AD＝6.E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设运动时间为t秒．

(1)设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

(2)当t＝________时，△BPQ的面积与四边形PQCD的面积相等；

(3)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？

Answer 1

【答案】(1) S=－4t＋32(0≤t≤6)； (2)；(3) 2或．

【解析】(1)过点A作AF⊥BC于点F，则∠AFB＝90°．由含30°角的直角三角形的性质及勾股定理得到AF的长．再由三角形的面积公式即可得到结论．

(2)由S＝S四边形PQCD ＝S四边形ABCD－S△BPQ－S△ABP．表示出各部分的面积，代入公式解方程即可；

(3)分两种情况讨论：四边形PEQD或四边形PQED为平行四边形，得到PD＝EQ．

由PD＝6－t，EQ＝8－2t或2t－8，代入解方程即可．

(1)过点A作AF⊥BC于点F，则∠AFB＝90°．

∵∠ABC＝60°，∴∠BAF＝30°．

∵AB＝8，∴BF＝AB＝4，∴AF＝＝．

∵经过t秒后BQ＝16－2t，∴S＝·BQ·AF＝×(16－2t)×＝－t＋ (0≤t≤6)．

(2)由图可知S四边形PQCD＝S四边形ABCD－S△BPQ－S△ABP．

∵AP＝t，∴S△ABP＝AP·AF＝．

又∵S四边形ABCD＝AF(AD＋BC)＝××(6＋16)＝，∴S四边形PQCD＝－(－t＋)－＝．

∵S＝S四边形PQCD，∴＝－t＋，解得：t＝．

(3)由题意可知四边形PEQD或四边形PQED为平行四边形，∴PD＝EQ．

∵PD＝6－t，EQ＝8－2t或2t－8，∴6－t＝8－2t或6－t＝2t－8，解得：t＝2或t＝．

故当t＝2或时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．