Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E.

（1）求证：MD=ME

（2）填空：①若AB=6，当AD=2DM时，DE=___________；

②连接OD，OE，当∠A的度数为____________时，四边形ODME是菱形.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）（2）①2；②60°.

【解析】

试题分析：（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得MA=MB，即可得∠A=∠MBA,再由∠ADE+∠ABE=180°，∠ADE+∠MDE=180°可得∠MDE=∠MBA.用同样的方法可得∠MDE=∠A.所以∠MDE=∠MED,即可得MD=ME.（2）①由MD=ME,又MA=MB, 可得DE∥AB，所以,又AD=2DM，即,所以,可得DE=2；②当∠A=600时, △AOD是等边三角形，这时∠DOE=600, △ODE和△MDE都是等边三角形，且全等。四边形ODME是菱形。

试题解析：（1）在Rt△ABC中，点M是AC的中点，

∴MA=MB，

∴∠A=∠MBA,

∵四边形ABDE是园内接四边形，

∴∠ADE+∠ABE=180°，

又因∠ADE+∠MDE=180°，

∴∠MDE=∠MBA.

同理可得∠MDE=∠A.

∴∠MDE=∠MED,

∴MD=ME.

（2）①2；②60°.