【题目】如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．

（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

参考答案：

【答案】
（1）

解：∵AC=BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），

∴O为AB的中点，即OA=OB=4，

∴P（4，2），B（4，0），

将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y=kx+b得： ，

解得：k= ，b=1，

∴一次函数解析式为y= x+1，

将P（4，2）代入反比例解析式得：m=8，即反比例解析式为y=


（2）

解：假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如图所示，连接DC与PB交于E，

∵四边形BCPD为菱形，

∴CE=DE=4，

∴CD=8，

将x=8代入反比例函数y= 得y=1，

∴D点的坐标为（8，1）

∴则反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D坐标为（8，1）


【解析】（1）由AC=BC，且OC⊥AB，利用三线合一得到O为AB中点，求出OB的长，确定出B坐标，从而得到P点坐标，将P与A坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，确定出一次函数解析式，将P坐标代入反比例解析式求出m的值，即可确定出反比例解析式；（2）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，根据菱形的特点得出D点的坐标．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用菱形的判定方法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形．

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