Question

【题目】如图所示，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A、B两点（A在B的左侧）与y轴交于C点，且OA：OC=1：3，S△ABC=6．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）抛物线上是否存在一点D（点C除外），使S△ABD=S△ABC？若存在，求出D点坐标；若不存在，说明理由．

（3）抛物线上是否存在一点E（点B除外），使S△ACE=S△ABC？若存在，求出E点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）抛物线上存在一点D（点C除外），使S△ABD=S△ABC，D点坐标（2，3），（1﹣，﹣3），D（1+，﹣3）；（3）存在，E（﹣4．﹣21）．

【解析】

试题分析：（1）根据三角形的面积，可得AB的长，根据线段的和差，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据平行线间的距离相等，可得D点的纵坐标，根据函数值，可得答案；

（3）根据平行线的一次函数的一次项系数相等，可得BE的解析式，根据解方程组，可得E点坐标．

解：（1）当x=0时，y=3，即OC=3．

由OA：OC=1：3，

解得OA=1，即A点坐标为（﹣1，0）．

由S△ABC=ABOC=6，

解得AB=4．﹣1+4=3，

即B（3，0）．

将A、B点的坐标代入函数解析式，得，

解得，

抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）如图1：

，

根据平行线间的距离相等，可得D点的纵坐标为3或﹣3．

当y=3时，﹣x2+2x+3=3，解得x=0（不符合题意，舍），x=2，

即D点的坐标为（2，3）；

当y=﹣3时，﹣x2+2x+3=﹣3．

解得x=1﹣，x=1+，

即D点坐标为（1﹣，﹣3），（1+，﹣3）；

综上所述：抛物线上存在一点D（点C除外），使S△ABD=S△ABC，D点坐标（2，3），（1﹣，﹣3），D（1+，﹣3）；

（3）过点B作AC平行线，如图2

，

S△ACE=S△ABC，由平行线间的距离相等，得

设AC的函数解析式y=kx+b，将A、C点的坐标代入函数解析式，得

，

解得

函数解析式为y=3x+3，

由BE∥AC，设BE的解析式为y=3x+b，将B点坐标代入函数解析式，得

3×3+b=0．

解得b=﹣9，

即BE的解析式为y=3x﹣9，

联立BE与抛物线，得

，

解得x=﹣4，x=3（不符合题意，舍），

当x=﹣4时，y=3×（﹣4）﹣9=﹣21，

即E（﹣4．﹣21）．