Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+b（b＜0）与坐标轴交于A，B两点，与双曲线y=（x＞0）交于D点，过点D作DC⊥x轴，垂足为C，连接OD．已知△AOB∽△ACD，相似比为．

（1）如果b=﹣2，求k的值；

（2）试探究k与b的数量关系，并直接写出直线OD的解析式．

Answer 1

【答案】（1）k=12；（2）k=3b2．直线OD的解析式为：y=x．

【解析】

试题分析：（1）首先求出直线y=2x﹣2与坐标轴交点的坐标，然后由△AOB≌△ACD得到CD=OB，AO=AC，即可求出D坐标，由点D在双曲线y=（ x＞0）的图象上求出k的值；

（2）首先直线y=2x+b与坐标轴交点的坐标为A（﹣，0），B（0，b），再根据△AOB≌△ACD得到CD=DB，AO=AC，即可求出D坐标，把D点坐标代入反比例函数解析式求出k和b之间的关系，进而也可以求出直线OD的解析式．

解：（1）当b=﹣2时，直线y=2x﹣2与坐标轴交点的坐标为A（1，0），B（0，﹣2）．

∵△AOB∽△ACD，

∴CD=2OB，AO=2AC，

∴点D的坐标为（3，4）．

∵点D在双曲线y=（ x＞0）的图象上，

∴k=3×4=12．

（2）直线y=2x+b与坐标轴交点的坐标为A（﹣，0），B（0，b）．

∵△AOB∽△ACD，

∴CD=2OB，AC=2AO，

∴点D的坐标为（b，2b）

∵点D在双曲线y=（ x＞0）的图象上，

∴k=（）（2b）=3b2，即k与b的数量关系为：k=3b2．

直线OD的解析式为：y=x．