Question

【题目】已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x=4．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．

（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线 y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒 个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒．求S关于t的函数关系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c

由题意得 ，

解得 ，

∴二次函数的解析式为y=x2﹣8x+12，

点P的坐标为（4，﹣4）

（2）

解：方法一：

存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形．理由如下：

当y=0时，x2﹣8x+12=0，

∴x1=2，x2=6，

∴点B的坐标为（6，0），

设直线BP的解析式为y=kx+m

则 ，

解得

∴直线BP的解析式为y=2x﹣12

∴直线OD∥BP，

∵顶点坐标P（4，﹣4），

∴OP=4

设D（x，2x）则BD2=（2x）2+（6﹣x）2

当BD=OP时，（2x）2+（6﹣x）2=32，

解得：x1= ，x2=2，

当x2=2时，OD=BP= ，四边形OPBD为平行四边形，舍去，

∴当x= 时四边形OPBD为等腰梯形，

∴当D（ ， ）时，四边形OPBD为等腰梯形

方法二：

设D（t，2t），O（0，0），P（4，﹣4），B（6，0），

∴KBP= =2，KOD= =2，

∴KBP=KOD，

∴BP∥OD，

∵四边形OPBD为等腰梯形，∴DB=OP，

（t﹣6）2+（2t﹣0）2=（4﹣0）2+（﹣4﹣0）2，

∴t1=2（舍），t2= ，∴D（ ， ）

（3）

解：方法一：

①当0＜t≤2时，

∵运动速度为每秒 个单位长度，运动时间为t秒，则MP= t，

∴PH=t，MH=t，HN= （4﹣t），

∴MN=MH+HN=2+ t，

∴S= t2；

②当2＜t＜4时，P1G=2t﹣4，P1H=t，

∵MN∥OB

∴△P1EF∽△P1MN，

∴ ，

∴ ，

∴ =3t2﹣12t+12，

∴S= t2﹣（3t2﹣12t+12）=﹣ t2+12t﹣12，

∴当0＜t≤2时，S= t2，

当2＜t＜4时，S=﹣ t2+12t﹣12

方法二：

O（0，0），P（4，﹣4），

∴lOP：y=﹣x，

∴M（4﹣t，t﹣4），

∵B（6，0），∴lBP：y=2x﹣12，

∴N（ ，t﹣4），

①当0＜t≤2时，S= = = ，

②当2＜t＜4时，

∵△PMN与△P′MN关于MN对称，

∴KMP′+KMP=0，KNP′+KNP=0，

∴lMP′：y=x+2t﹣8，lNP′：y=﹣2x+2t+4，

∴D（8﹣2t，0），C（t+2，0），

∴S= （CD+MN）|MY|= =﹣ ．

【解析】（1）利用对称轴公式，A、C两点坐标，列方程组求a、b、c的值即可；（2）存在．由（1）可求直线PB解析式为y=2x﹣12，可知PB∥OD，利用BD=PO，列方程求解，注意排除平行四边形的情形；（3）由P（4，﹣4）可知直线OP解析式为y=﹣x，当P1落在x轴上时，M、N的纵坐标为﹣2，此时t=2，按照0＜t≤2，2＜t＜4两种情形，分别表示重合部分面积．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．