Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x－2与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是直线AB上一动点，⊙P的半径为1.

(1)判断原点O与⊙P的位置关系，并说明理由；

(2)当⊙P过点B时，求⊙P被y轴所截得的劣弧的长；

(3)当⊙P与x轴相切时，求出切点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）原点O在⊙P外 （2） （3） 或

解：(1)原点O在⊙P外．理由如下：∵直线y＝x－2与x轴、y轴分别交于A，B两点，∴点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，－2)．在Rt△OAB中，tan∠OBA＝＝＝，∴∠OBA＝30°.如图①，过点O作OH⊥AB于点H，在Rt△OBH中，OH＝OB·sin∠OBA＝.∵＞1，∴原点O在⊙P外；

(2)如图②，当⊙P过点B时，点P在y轴右侧时，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠OBA＝30°，∴⊙P被y轴所截的劣弧所对的圆心角的度数为180°－30°－30°＝120°，∴弧长为＝；同理：当⊙P过点B时，点P在y轴左侧时，弧长同样为.∴当⊙P过点B时，⊙P被y轴所截得的劣弧的长为；

(3)如图③，当⊙P与x轴相切时，且位于x轴下方时，设切点为D，作PD⊥x轴，∴PD∥y轴，∴∠APD＝∠ABO＝30°.在Rt△DAP中，AD＝DP·tan∠DPA＝1×tan30°＝，∴OD＝OA－AD＝2－，∴此时点D的坐标为；当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上方时，根据对称性可以求得此时切点的坐标为.综上所述，当⊙P与x轴相切时，切点的坐标为或.

【解析】试题分析： 由直线 与轴、轴分别交于两点，可求得点与点的坐标，继而求得∠OBA＝30°.然后过点O作OH⊥AB于点H，利用三角函数可求得的长，继而求得答案；

当⊙P过点B时，点P在y轴右侧时，⊙P被y轴所截的劣弧所对的圆心角的度数为180°－30°－30°＝120°，则可求得弧长；同理可求得⊙P过点B时，点P在y轴左侧时， ⊙P被y轴所截的劣弧的长；

首先求得⊙P与x轴相切时，且位于x轴下方时，设切点为D，求出点D的坐标，然后利用对称性可以求得当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上方时，点D的坐标．

试题解析：(1)原点O在⊙P外．

理由如下：∵直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，

∴点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为

在Rt△OAB中，

∴∠OBA＝30°.

如图①，过点O作OH⊥AB于点H，

在Rt△OBH中，

∴原点O在⊙P外；

(2)如图②，当⊙P过点B时，点P在y轴右侧时，

∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠OBA＝30°，

∴⊙P被y轴所截的劣弧所对的圆心角的度数为180°－30°－30°＝120°，

∴弧长为：

同理：当⊙P过点B时，点P在y轴左侧时，弧长同样为

∴当⊙P过点B时，⊙P被y轴所截得的劣弧的长为

(3)如图③，当⊙P与x轴相切时，且位于x轴下方时，设切点为D，作PD⊥x轴，∴PD∥y轴，∴∠APD＝∠ABO＝30°.

在Rt△DAP中，

∴此时点D的坐标为

当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上方时，根据对称性可以求得此时切点的坐标为

综上所述，当⊙P与x轴相切时，切点的坐标为或.