Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形OABC的顶点B坐标为（12,5)，点D在 CB边上从点C运动到点B，以AD为边作正方形ADEF，连BE、BF，在点D运动过程中，请探究以下问题：

(1)△ABF的面积是否改变，如果不变，求出该定值；如果改变，请说明理由；

(2)若△BEF为等腰三角形，求此时正方形ADEF的边长；

(3)设E(x,y)，直接写出y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）不变，，理由见解析；（2）5或或；（3）y=-x+22（5x17）

【解析】

（1）由“SAS”可证△ABD≌△FHA，可得HF=AB=5，即可求△ABF的面积；

（2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求正方形ADEF的边长；

（3）由全等三角形的性质，DH=AB=5，EH=DB，可得y=EH+5=DB+5，x=12-DB+DH=17-DB，即可求y关于x的函数关系式．

解：（1）作FH⊥AB交AB延长线于H，

∵正方形ADEF中，AD=AF,∠DAF=90°，

∴∠DAH+∠FAH=90°.

∵∠H=90°，

∴∠FAH+∠AFH=90°，

∴∠DAH=∠AFH，

∵矩形OABC中，AB=5,∠ABD=90°，

∴∠ABD=∠H∴△ABD≌△FHA，

∴FH=AB=5，

∴；

(2)①当EB=EF时，作EG⊥CB

∵正方形ADEF中，ED=EF，

∴ED=EB ，

∴DB=2DG，

同（1）理得△ABD≌△GDE，

∴DG=AB=5 ， ∴ DB=10，

∴；

②当EB=BF时，∠BEF=∠BFE，

∵正方形ADEF中，ED=AF，∠DEF=∠AFE=90°，

∴∠BED=∠BFA，

∴△ABF≌△DBE，

∴BD=AB=5 ，

∵矩形OABC中，∠ABD=90°，

∴ ；

③当FB=FE时，作FQ⊥AB，

同理得BQ=AQ=, BD=AQ=，

∴；

（3）当5≤x≤12时，如图，

由（2）可知DH=AB=5，EH=DB，且E（x，y），

∴y=EH+5=DB+5，x=12-DB+DH=17-DB，

∴y=22-x，

当12＜x≤17时，如图，

同理可得：x=12-DB+5=17-DB，y=DB+5，

∴y=22-x，

综上所述：当5≤x≤17时，y=22-xy=-x+22（5x17）.