Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，且，过点O作OE⊥AC于点E，⊙O的切线AF交OE的延长线于点F，弦AC、BD的延长线交于点G．

（1）求证：∠F=∠B；

（2）若AB=10，BG=13，求AF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）根据圆周角定理得到∠GAB=∠B，根据切线的性质得到∠GAB+∠GAF=90°，证明∠F=∠GAB，等量代换即可证明；

（2）连接OG，根据勾股定理求出OG，证明△FAO∽△BOG，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．

（1）∵，

∴，

∴∠GAB=∠B，

∵AF是⊙O的切线，

∴AF⊥AO，

∴∠GAB+∠GAF=90°，

∵OE⊥AC，

∴∠F+∠GAF=90°，

∴∠F=∠GAB，

∴∠F=∠B；

（2）连接OG，

∵∠GAB=∠B，

∴AG=BG，

∵OA=OB=5，

∴OG⊥AB，

∴OG＝＝＝8，

∵∠FAO=∠BOG=90°，∠F=∠B，

∴△FAO∽△BOG，

∴，

∴AF＝＝＝．