Question

【题目】如图，在直角坐标系中，半径为1的⊙A圆心与原点O重合，直线l分别交x轴、y轴于点B、C，若点B的坐标为(6，0)，tan∠ABC=．

（1）若点P是⊙A 上的动点，求P到直线BC的最小距离，并求此时点P的坐标；

（2）若点A从原点O出发，以1个单位/秒的速度沿着线路OB→BC→CO运动，回到点O停止运动，⊙A随着点A的运动而移动．设点A运动的时间为t．

①求⊙A在整个运动过程中与坐标轴相切时t的取值；

②求⊙A在整个运动过程中所扫过的图形的面积为 ．

Answer 1

【答案】（1），最小距离为3.8；（2）①1、、、、、23；②42+

【解析】

试题分析：（1）利用点B的坐标为（6，0）且tan∠ABC=，即可得出C点坐标，进而利用△OPH∽△CBO，求出P点坐标即可；

（2）①利用⊙A在整个运动过程中所扫过的面积=矩形DROC面积+矩形OYHB面积+矩形BGFC面积+△ABC面积+一个圆的面积-△LSK面积，求出即可；

②利用相似三角形的判定与性质得出t的值即可，注意利用数形结合得出．

（1）∵点B的坐标为（6，0）且tan∠ABC=

∴AC=8，

故C点坐标为：C（0，8），

∴BC=10，

过O作OG⊥BC于G，则OG与⊙A的交点即为所求点P．过P作PH⊥x轴于H，

∵PH⊥AB，

∴∠OHP=90°，

∵∠POH+∠COP=90°，∠POC+∠OCG=90°，

∴∠POH=∠OCG，

又∵∠COB=90°，

∴△OPH∽△CBO，

可得，

∴；

（2）①如图所示：⊙A与△OBC的三边相切有6种不同的情况，

当⊙O2与BC相切于点N，则O2N⊥BC，

∵∠OBC=∠O2BN，∠O2NB=∠COB=90°，

∴△O2NB∽△COB，

解得

则，则t的值为秒，

同理可得出：O，O4，O5的位置，即可得出时间t的值，

故t=1、、、、、23；

②如图2所示：当圆分别在O，B，C位置时，作出公切线DR，YH，FG，PW，切点分别为：D，R，H，G，F，P，W

连接CD，CF，BG，过点K作KX⊥BC于点X，PW交AB于点U，

∵PU∥OB，

∴∠OBC=∠KUX，

∵∠KXU=∠COB=90°，

∴△COB∽△KXU，

∵PU∥BO，

∴△CPU∽△COB，

同理可得出：△LSK∽△COB，

解得：LS=4，

则∠CDR=∠CFG=∠BGF=∠BHY=∠AYH=90°，

故⊙A在整个运动过程中所扫过的面积

=矩形DROC面积+矩形OYHB面积+矩形BGFC面积+△ABC面积+一个圆的面积-△LSK面积，

=42+.