Question

【题目】已知：如图，AB为⊙O的直径，点P是⊙O上不与A，B重合的一个动点，延长PA到C，使AC=AP，点D为⊙O上一点，且满足AD∥PB，射线CD交PB延长线于点E．

（1）求证：△PAB≌△ACD；

（2）填空：

①若AB=6，则四边形ABED的最大面积为 ；

②若射线CD与⊙O的另一个交点为F，则当∠PAB的度数为 时，以O，A，D，F为顶点的四边形为菱形．

Answer 1

【答案】(1)证明详见解析；(2)①18；②30°.

【解析】

试题分析：（1）连接BD，先判断出四边形ADBP矩形，得出AD=PB，再用SAS得出△PAB≌△ACD；

（2）①先判断出四边形ADEB是平行四边形，而AB是定值，要四边形ADEB面积最大，只有点D到AB的距离最大，最大为圆的半径，最后根据三角形面积公式计算即可；

②要使四边形OADF是菱形，即OA=AD，得出三角形AOD是等边三角形，即∠OAD=60°即可．

试题解析：（1）如图1，连接，BD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠APB=∠ADB=90°，

∵AD∥PB，

∴∠CAD=∠APB=90°，

∴∠PAD=90°

∴∠APB=∠ADB=∠PAD=90°，

∴四边形ADBP是矩形，

∴AD=PB，

在△PAB≌和△ACD中，

AC=AP，∠CAD=∠APB，AD=PB，

∴△PAB≌△ACD；

（2）①由（1）知，AD=PB

∵AD∥PB，AC=AP，

∴AD=PE=（PB+BE），

∴PB=EB，

∴AD=BE，

∵AD∥PB，

∴四边形ADEB是平行四边形，

∵AB是⊙O的直径，不变，

∴直线CD和⊙O相切时，即：点D到直径AB的等于半径时，四边形ABED的最大，

∵AB=6

∴S四边形ABED的最大=AB×AB=18，

故答案为：18；

②由①知，四边形ADEB是平行四边形，

∴OA∥DF，

∵以O，A，D，F为顶点的四边形为菱形，

∴OA=AD=DF，

∴∠BAD=60°，

∵∠PAD=90°，

∴∠PAB=30°，

故答案为：30°．