Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E．

（1）若AC=5，BC=13，求⊙O的半径；
（2）过点E作弦EF⊥AB于M，连接AF，若∠F=2∠B，求证：四边形ACEF是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OE，设圆O半径为人，

在Rt△ABC中，BC=13，AC=5，

根据勾股定理得：AB= =12，

∵BC与圆O相切，

∴OE⊥BC，

∴∠OEB=∠BAC=90°，

∵∠B=∠B，

∴△BOE∽△BCA，

∴ = ，即 = ，

解得：r= ；

（2）解：∵ = ，∠F=2∠B，

∴∠AOE=2∠F=4∠B，

∵∠AOE=∠OEB+∠B，

∴∠B=30°，∠F=60°，

∵EF⊥AD，

∴∠EMB=∠CAB=90°，

∴∠MEB=∠F=60°，CA∥EF，

∴CB∥AF，

∴四边形ACEF为平行四边形，

∵∠CAB=90°，OA为半径，

∴CA为圆O的切线，

∵BC为圆O的切线，

∴CA=CE，

∴平行四边形ACEF为菱形

【解析】（1）连接OE，设圆的半径为r，在之间三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的长，根据BC与圆相切，得到OE垂直于BC，进而得到一对直角相等，再由一对公共角，利用两角相等的三角形相似得到三角形BOE与三角形ABC相似，由相似得比例求出r的值即可；（2）利用同弧所对的圆周角相等，得到∠AOE=4∠B，进而求出∠B与∠F的度数，根据EF与AD垂直，得到一对直角相等，确定出∠MEB=∠F=60°，CA与EF平行，进而得到CB与AF平行，确定出四边形ACEF为平行四边形，再由∠CAB为直角，得到CA为圆的切线，利用切线长定理得到CA=CE，利用邻边相等的平行四边形为菱形即可得证．此题考查了切线的性质，菱形的判定，相似三角形的判定与性质，以及垂径定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
【考点精析】掌握菱形的判定方法和垂径定理是解答本题的根本，需要知道任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形；垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．