Question

【题目】如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上的一点，过点A作AG⊥BE，垂足为G，AG交BD于点F．

（1）试说明OE=OF；

（2）当AE=AB时，过点E作EH⊥BE交AD边于H，找出与△AHE全等的一个三角形加以证明，

（3）在（2）的条件下若该正方形边长为1，求AH的长．

Answer 1

【答案】（1）证明解解析（2）答案见解析（3）﹣1

【解析】

试题分析：（1）根据正方形性质得出AC⊥BD，OA=OB，求出∠FAO=∠EBO，根据ASA推出△AFO≌△BEO即可；

（2）根据正方形性质得出∠ACB=∠DAC=45°，∠ABE+∠EBC=90°，求出∠CBE=∠AEH，AE=AB=BC，证△BCE≌△EAH；

（3）根据全等三角形的性质推出CE=AH，即可得出答案．

（1）解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，OA=OB，

∴∠AOF=∠BOE=90°，

∵AG⊥BE，

∴∠FGB=90°，

∴∠OBE+∠BFG=90°，∠FAO+∠AFO=90°，

∵∠AFO=∠BFG，

∴∠FAO=∠EBO，

在△AFO和△BEO中，

，

∴△AFO≌△BEO（ASA），

∴OE=OF．

（2）△BCE≌△EAH，

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB=∠DAC=45°，∠ABE+∠EBC=90°，

∵EH⊥BE，

∴∠AEH+∠AEB=90°，

∵AE=AB，

∴∠ABE=∠AEB，

∴∠CBE=∠AEH，

∵AE=AB=BC，

在△BCE和△EAH中，

，

∴△BCE≌△EAH（ASA）；

（3）解：∵△BCE≌△EAH，

∴CE=AH，

∵AB=BC=1，

∴AC=，

∵AE=AB=1，

∴AH=CE=AC﹣AE=﹣1．