Question

【题目】如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．

（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；

（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】（1）AP=2；（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）首先根据切线的性质判定∠BAP=90°；然后在直角三角形ABP中利用三角函数的定义求得AP的长度；

（2）连接OC，OD、AC构建全等三角形△OAD≌△OCD，然后利用全等三角形的对应角相等推知∠OAD=∠OCD=90°，即OC⊥CD．

（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，

∴AB⊥AP，

∴∠BAP=90°；

又∵AB=2，∠P=30°，

∴AP===2，即AP=2；

（2）证明：如图，连接OC，OD、AC．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），

∴∠ACP=90°；

又∵D为AP的中点，

∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；

在△OAD和△OCD中，

，

∴△OAD≌△OCD（SSS），

∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）；

又∵AP是⊙O的切线，A是切点，

∴AB⊥AP，

∴∠OAD=90°，

∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线．