Question

【题目】（本小题满分9分）如图，四边形ABCD中AB∥CD，AB≠CD，BD=AC。

（1）求证：AD=BC；

（2）若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分。

Answer 1

【答案】(1)过点B作BM∥AC交DC于点M，

∵AB∥CD， ∴四边形ACMD是平行四边形． ∴AC=BM

又∵BD=AC ∴BD=BM ∴∠BDC=∠M=∠ACD

又∵DC=DC ∴△ADC≌△BCD ∴AD=BC

(2)连接EH、HF、FG、EG

∵E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，∴GF=EH=AD，HF=EG=BC

∴四边形EHFG是平行四边形,EH=EG ∴四边形EHFG是菱形

∴线段EF与线段GH互相垂直平分

【解析】试题分析：(1) 过点B作BM∥AC交DC于点M，就可得到四边形ACMD是平行四边形，证得AD=BC，就可得到△ADC≌△BCD 证出AD=BC；

（2）连接EH、HF、FG、EG，根据三角形中位线的性质证明四边形EHFG是菱形就可证明出．

试题解析：(1)过点B作BM∥AC交DC于点M，

∵AB∥CD， ∴四边形ACMD是平行四边形． ∴AC=BM

又∵BD=AC ∴BD=BM ∴∠BDC=∠M=∠ACD

又∵DC=DC ∴△ADC≌△BCD ∴AD=BC

(2)连接EH、HF、FG、EG

∵E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，∴GF=EH=AD，HF=EG=BC

∴四边形EHFG是平行四边形,EH=EG ∴四边形EHFG是菱形

∴线段EF与线段GH互相垂直平分