Question

【题目】如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．

（1）求证△BED≌△CFD．

（2）已知EC=6，AC=10，求BE．

（3）当∠C=45°时，判断△DFC的周长与线段AC长度的关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2；（3）△DFC的周长等于AC的长度，理由见解析.

【解析】

（1）由已知条件根据“HL”即可证得△BED≌△CFD；

（2）由已知易得AE=8，由（1）中所得△BED≌△CFD可得DE=DF，结合AD=AD，∠AED=∠AFD=90°可得△AED≌△AFD，由此可得AE=AF=AC-CF，再结合BE=CF即可得到AE=AC-BE，从而可得BE=AC-AE=10-8=2；

（3）当∠C=45°时，易得△AEC是等腰直角三角形，结合（2）中所得AE=AF可得CE=AE=AF，结合DF=DE即可得到△DCF的周长=DC+DF+FC=DC+DE+FC=CE+FC=AF+FC=AC.

（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠E=∠DFC=90°．

∵在Rt△BED和Rt△CFD中，BE=CF，BD=CD，

∴Rt△BED≌ Rt△CFD（HL）；

（2）∵DE⊥AE，EC=6，AC=10，

∴在Rt△AEC中，AE=，

由（1）中所得Rt△BED≌ Rt△CFD可得DE=DF，

∵在△AED和△AFD中，DE=DF，AD=AD，∠E=∠AFD=90°，

∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），

∴AE=AF ，

又∵AF=AC-CF，

∴AE=AC-CF ，

又∵BE=CF ，

∴AE=AC-B E ，即8=10-BE ，

∴BE=2 ；

（3）△DFC的周长等于AC的长度，理由如下：

∵∠C=45°，∠E=90°，

∴△AEC为等腰直角三角形，

∴AE=EC，

∵由（2）可知AE=AF，

∴AF=EC，

又∵DE=DF，

∴△DFC的周长=CD+DF+FC=CD+DE+FC=CE+FC=AF+FC=AC．