Question

【题目】如图（1）A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC若AB=CD，G是EF的中点吗？请证明你的结论。若将 ⊿ABC的边EC经AC方向移动变为图（2）时，其余条件不变，上述结论还成立吗？为什么？

Answer 1

【答案】(1)G是EF的中点.(2)上述结论还成立,G是EF的中点.

【解析】

(1)连接BE、FD，首先由题意推出AF=CE，∠BFA=∠DEC=90°，则由全等三角形的判定定理HL证得Rt△BFA≌Rt△DEC，便知BF=DE，推出四边形BEDF为平行四边形，即可推出G是EF的中点；
(2)同(1)的证明过程.

解：(1)G是EF的中点.理由如下：
连接BE，DF，

∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴∠BFA=∠DEC=90°．

又∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，

∵AB=CD,

∴Rt△BFA≌Rt△DEC(HL)，
∴BF=DE，
∵BF∥DE，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴EG=GF，

∴G是EF的中点.

(2)上述结论还成立．理由如下：

连接BE，DF，

∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFA=∠DEC=90°．
又∵AE=CF，
∴AE-EF=CF-EF，即AF=CE，

∵AB=CD,

∴Rt△BFA≌Rt△DEC(HL)，
∴BF=DE，
∵BF∥DE，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴EG=GF，

∴G是EF的中点.