Question

【题目】如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm. 射线AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t(s) ；

（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；

(2)求当t为何值时，四边形ACFE是菱形；

（3）是否存在某一时刻t，使以A、F、C、E为顶点的四边形内角出现直角？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析； (2)t=6； （3）存在，理由见解析．

【解析】分析：（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；（2）若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可；（3）分两种情况考虑：若CE⊥AG，此时四点构成三角形，不是直角梯形；若AF⊥BC，求出BF的长度及时间t的值．

本题解析：（1） 证明：∵AG∥BC ,∴ ,∵是AC边的,∴AD=CD

又∵ , ∴△ADE≌△CDF

（2）∵当四边形ACFE是菱形时，∴AE=AC=CF=EF,

由题意可知：AE=t,CF=2T-6，∴t=6,

（3）当四边形内角有直角时，分两种情况：若四边形ACFE是直角梯形，此时EF⊥AG， 过作CM⊥AG于M，AM=3可以得到AE-CF=AM，

即t-(2t-6)=3,∴t=3，

此时，C与F重合，不符合题意，舍去。

若四边形是直角梯形，此时AF⊥BC，

∵△ABC是等边三角形，F是BC中点，

∴2t=3，经检验，符合题意，∴t=.