Question

【题目】如图，已知矩形 的边长 ．某一时刻，动点 从 点出发沿 方向以 的速度向 点匀速运动；同时，动点 从 点出发沿 方向以 的速度向 点匀速运动，问：

（1）经过多少时间， 的面积等于矩形 面积的 ？
（2）是否存在时刻t，使以A,M,N为顶点的三角形与 相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设经过 秒后， 的面积等于矩形 面积的 ，

则有： ，即 ，

解方程，得 ．

经检验，可知 符合题意，所以经过1秒或2秒后， 的面积等于矩形 面积的

（2）解：假设经过 秒时，以 为顶点的三角形与 相似，

由矩形 ，可得 ，

因此有 或

即 ①，或 ②．

解①，得 ；解②，得

经检验， 或 都符合题意，所以动点 同时出发后，经过 秒或 秒时，以 为顶点的三角形与 相似

【解析】（1）根据△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，得到一元二次方程，求出它的解，求出时间；（2）根据相似三角形的判定方法，两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；求出t的值；此题是综合题，难度较大，计算和解方程时需认真仔细.