Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，交AD于F，FG∥BC，FH∥AC，下列结论：①AE＝AF；②AF＝FH；③AG＝CE；④AB＋FG＝BC，其中正确的结论有 ． (填序号)

Answer 1

【答案】①②③④
【解析】①正确.

∵∠BAC＝90°

∴∠ABE+∠AEB=90°

∴∠ABE=90°-∠AEB

∵AD⊥BC

∴∠ADB=90°

∴∠DBE+∠BFD=90°

∴∠DBE=90-∠BFD

∵∠BFD=∠AFE

∴∠DBE=90°-∠AFE

∵BE平分∠ABC

∴∠ABE=∠DBE

∴90°-∠AEB=90°-∠AFE

∴∠AEB=∠AFE

∴AE=AF

②正确.

∵∠BAC=90°

∴∠BAF+∠DAC=90°

∴∠BAF=90°-∠DAC

∵AD⊥BC

∴∠ADC=90°

∴∠C+∠DAC=90°

∴∠C=90°-∠DAC

∴∠C=∠BAF

∵FH∥AC

∴∠C=∠BHF

∴∠BAF=∠BHF

在△ABF和△HBF中

∴△ABF≌△HBF

∴AF=FH

③正确.

∵AE=AF，AF=FH

∴AE=FH

∵FG∥BC，FH∥AC

∴四边形FHCG是平行四边形

∴FH=GC

∴AE=GC

∴AE+EG=GC+EG

∴AG=CE

④正确.

∵四边形FHCG是平行四边形

∴FG=HC

∵△ABF≌△HBF

∴AB=HB

∴AB+FG=HB+HC=BC

故正确的答案有①②③④.

①根据直角三角形两锐角互余得出∠ABE=90°-∠AEB ，∠DBE=90-∠BFD ，根据对顶角相等及等量代换得出∠DBE=90°-∠AFE ，根据角平分线的定义得出∠ABE=∠DBE ，从而得出∠AEB=∠AFE ，根据等边对等角得出AE=AF ； ② 根据垂直的定义得出∠BAF=90°-∠DAC ，根据直角三角形两锐角互余得出∠C=90°-∠DAC ，根据同角的余角相等得出∠C=∠BAF ，根据平行线的性质得出∠C=∠BHF ，从而得出∠BAF=∠BHF ，然后利用AAS判断出△ABF≌△HBF ，根据全等三角形的性质得出AF=FH ； ③ 由 AE=AF，AF=FH得出 AE=FH ，利用两组对边分别平行得四边形是平行四边形得出 四边形FHCG是平行四边形 ，根据平行四边形的性质得出FH=GC ，进而得出AE=GC ，根据等式的性质得出AG=CE ；④根据平行四边形的性质得出FG=HC ，根据三角形全等得出AB=HB ，根据等式的性质得出AB+FG=HB+HC=BC 。