Question

【题目】问题的提出：

如果点是锐角内一动点，如何确定一个位置，使点到△ABC的三顶点的距离之和的值为最小？

（1）问题的转化：

把绕点逆时针旋转得到，连接，这样就把确定的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了，请你利用图1证明：．

（2）问题的解决：

当点到锐角的三顶点的距离之和的值为最小时，求的度数．

问题的延伸：

（3）如图2所示，在钝角中，，，，点是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）∠AMB=120°；（3）．

【解析】

（1）证明△AMM'是等边三角形，求出MM'=MA，结合MC=M'C'可得结论；

（2）当B、M、M'、C'在同一直线上时，MA+MB+MC的值为最小，此时∠AMM'=60°，故可得∠AMB=120°；

（3）根据题意作出辅助线，利用旋转的性质求出，求得和的长，然后在中，利用勾股定理求出的长即可．

（1）如图1，由旋转的性质得：∠MAM'=60°，MA=M'A，

∴△AMM'是等边三角形，

∴MM'=MA，

∵MC=M'C'，

∴MA+MB+MC=BM+MM′+M′C′；

（2）如图2，把△AMC绕点A逆时针旋转60度得到△AM′C′，连接MM′，由“问题的转化”可知：当B、M、M'、C'在同一直线上时，MA+MB+MC的值为最小，

由（1）可知△AMM'是等边三角形，则∠AMM'=60°，

∴∠AMB=120°；

（3）如图3，把△AMC绕点A旋转60度得到△AM′C′，且B、M、M'、C'在同一直线上，过点作延长线的垂线，垂足为，

由旋转可得≌，则，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，则，

∴在中，，

∴，

∵点B、M、M'、C'在同一直线上，

∴在中，，

即点到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为．