Question

【题目】如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且B（1，0），C（0，3），将△BOC绕点O按逆时针方向旋转90°，C点恰好与A重合．

（1）求该二次函数的解析式；
（2）若点P为线段AB上的任一动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连结CP，求△PCE面积S的最大值；
（3）设抛物线的顶点为M，Q为它的图象上的任一动点，若△OMQ为以OM为底的等腰三角形，求Q点的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵B（1，0），C（0，3），

∴OB=1，OC=3．

∵△BOC绕点O按逆时针方向旋转90°，C点恰好与A重合．

∴OA=OC=3，

∴A（﹣3，0），

∵点A，B，C在抛物线上，

∴ ，

∴ ，

∴二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3

（2）

解：设点P（x，0），则PB=1﹣x，

∵A（﹣3，0），B（1，0），

∴AB=4，

∵C（0，3），

∴OC=3，

∴S△ABC= AB×OC=6，

∵PE∥AC，

∴△BPE∽△BAC，

∴ ，

∴S△PBE= （1﹣x）2，

∴S△PCE=S△PBC﹣S△PBE= PB×OC﹣ （1﹣x）2= （1﹣x）×3﹣ （1﹣x）2=﹣ （x+1）2+ ，

当x=﹣1时，S△PCE的最大值为

（3）

解：∵二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴顶点坐标（﹣1，4），

∵△OMQ为等腰三角形，OM为底，

∴MQ=OQ，

∴ = ，

∴8x2+18x=7=0，

∴x= ，

∴y= 或y= ，

∴Q（ ， ），或（ ， ）

【解析】（1）先求出点A坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先求出S△PCE=S△PBC﹣S△PBE=﹣ （x﹣1）2+ ，即可求出最大面积；（3）先求出抛物线顶点坐标，由等腰三角形的两腰相等建立方程求出点Q坐标．