Question

【题目】问题：如图1，点，在直线的同侧，在直线上找一点，使得的值最小．小明的思路是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为所求.

请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：

（1）如图3，在图2的基础上，设与直线的交点为，过点作，垂足为. 若，，，写出的值为____________；

（2）将（1）中的条件“”去掉，换成“”，其它条件不变，写出此时的值 ___________；

（3）求+的最小值．

Answer 1

【答案】 3 5；

【解析】(1)、由勾股定理和相似三角形的性质，求得AP，BP的值即可；(2)、由勾股定理和相似三角形的性质，建立方程求解；(3)、结合图形，由(1)(2)直接写出即可．

(1)、如图2，∵AA′⊥l，AC=1，PC=1，
∴PA=，∴PA′=PA=，∵AA′∥BD，∴∠A′=∠B，∵∠A′PC=∠BPD，

∴△A′PC∽△BPD，∴，∴，∴PB=2， ∴AP+PB=+2=3；
(2)、作AE∥l，交BD的延长线于E，如图3，
则四边形A′EDC是矩形，∴AE=DC=PC+PD=3，DE=A′C=AC，∵BD=4-AC，
∴BD+AC=BD+DE=4，即BE=4，在Rt△A′BE中，A′B==5，∴AP+BP=5，
(3)、如图3，设AC=2m-3，PC=1，则PA=；设BD=8-2m，PD=2，

则PB=，∵DE=AC=2m-3，∴BE=BD+DE=5，A′E=CD=PC+PD=3
∴PA+PB=A′B=．