Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G，F两点．

(1)求证：AB与⊙O相切；

(2)若AB＝4，求线段GF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2.

【解析】试题分析：（1）过点O作OM⊥AB，垂足是M.

证明OM等于圆的半径即可；
（2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF，

由垂径定理得出NG＝NF＝GF.证出四边形OMBN是矩形，在利用三角函数求得OM和的长，则和即可求得，在中利用勾股定理求得，即可得出的长．

试题解析： 如图，

∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC，∴∠ADO＝∠AMO＝90°.

∵△ABC是等边三角形，AO⊥BC，

∴∠DAO＝∠MAO，∴OM＝OD.

∴AB与⊙O相切；

如图，过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF，

则NG＝NF＝GF.∵O是BC的中点，

∴OB＝2.

在Rt△OBM中，∠MBO＝60°，

∴∠BOM＝30°，∴BM＝BO＝1，

∴OM＝.

∵BE⊥AB，∴四边形OMBN是矩形，

∴ON＝BM＝1.∵OF＝OM＝，

由勾股定理得NF＝＝，

∴GF＝2NF＝2.