Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF.

（1）求证△ACD≌△BFD

（2）求证：BF＝2AE；

（3）若CD＝，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AD =2+

【解析】

（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角边角”证明△ADC和△BDF全等；

（2）根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AE，从而得证；

（3）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF，然后根据AD=AF+DF代入数据即可得解．

（1）∵AD⊥BC，∠BAD=45°，

∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，

∵BE⊥AC，AD⊥BC，

∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，

∴∠CAD=∠CBE，

在△ADC和△BDF中，

∠CAD＝∠CBE，AD＝BD，∠ADC＝∠BDF＝90°，

∴△ACD≌△BFD（ASA）

（2）由（1）可知：BF=AC

∵AB=BC，BE⊥AC，

∴AC=2AE，

∴BF=2AE；

(3) ∵△ACD≌△BFD，

∴DF=CD=，

在Rt△CDF中，CF=，

∵BE⊥AC，AE=EC，

∴AF=CF=2．

∴AD=AF+DF=2+