Question

【题目】阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
计算：（1﹣﹣﹣）×（+++）﹣（1﹣﹣﹣﹣）×（++）．
令++=t，则
原式=（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t
=t+﹣t2﹣t﹣t+t2
=
问题：
（1）计算
（1﹣﹣﹣﹣…﹣）×（++++…++）﹣（1﹣﹣﹣﹣﹣…﹣﹣）×（+++…+）；
（2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设++…+=t，

则原式=（1﹣t）×（t+）﹣（1﹣t﹣）×t

=t+﹣t2﹣t﹣t+t2+t

=；

（2）

解：设x2+5x+1=t，

则原方程化为：t（t+6）=7，

t2+6t﹣7=0，

解得：t=﹣7或1，

当t=1时，x2+5x+1=1，

x2+5x=0，

x（x+5）=0，

x=0，x+5=0，

x1=0，x2=﹣5；

当t=﹣7时，x2+5x+1=﹣7，

x2+5x+8=0，

b2﹣4ac=52﹣4×1×8＜0，

此时方程无解；

即原方程的解为：x1=0，x2=﹣5．

【解析】（1）设++…+=t，则原式=（1﹣t）×（t+）﹣（1﹣t﹣）×t，进行计算即可；
（2）设x2+5x+1=t，则原方程化为：t（t+6）=7，求出t的值，再解一元二次方程即可．
【考点精析】利用换元法和有理数的四则混合运算对题目进行判断即可得到答案，需要熟知换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法；在没有括号的不同级运算中，先算乘方再算乘除，最后算加减．