Question

【题目】如图，点C是线段AB上除点A，B外的任意一点，分别以AC，BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN.

(1)求证：BD＝AE.

(2)求证：△NMC是等边三角形.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

(1)先由△ACD和△BCE是等边三角形，可知AC＝DC，CE＝CB，∠DCA＝60°，∠ECB＝60°，故可得出∠DCA+∠DCE＝∠ECB+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB，根据SAS定理可知△ACE≌△DCB，然后由全等三角形的性质即可得出结论；

(2)由(1)中△ACE≌△DCB，可知∠CAM＝∠CDN，再根据∠ACD＝∠ECB＝60°，A、C、B三点共线可得出∠DCN＝60°，由全等三角形的判定定理可知，△ACM≌△DCN，故MC＝NC，再根据∠MCN＝60°可知△MCN为等边三角形.

证明：(1)∵△ACD和△BCE是等边三角形，

∴AC＝DC，CE＝CB，∠DCA＝60°，∠ECB＝60°，

∵∠DCA＝∠ECB＝60°，

∴∠DCA+∠DCE＝∠ECB+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB，

在△ACE与△DCB中，

.

∴△ACE≌△DCB(SAS)，

∴AE＝BD；

(2)∵由(1)得，△ACE≌△DCB，

∴∠CAM＝∠CDN，

∵∠ACD＝∠ECB＝60°，而A.C.B三点在同一条直线上，

∴∠DCN＝60°，

在△ACM与△DCN中，

∵∠MAC＝∠NDC，AC＝DC，∠ACM＝∠DCN＝60°，

∴△ACM≌△DCN(ASA)，

∴MC＝NC，

∵∠MCN＝60°，

∴△MCN为等边三角形.