Question

【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=4,E为斜边AB的中点,点P是射线BC的一个动点,连接AP、PE,将△AEP沿着边PE叠,折叠后得到△EPA,当折叠后△EPA与△BEP的重叠部分的面积恰好为△ABP面积的四分之一,则BP的长__________

Answer 1

【答案】4或.

【解析】分析: 根据30°角所对直角边等于斜边的一半可求出AB,即可得到AE的值,然后根据勾股定理求出BC,①若与AB交于点F,连接,如图1,易得,即可得到,.从而可得四边形是平行四边形,即可得到,从而可求出BP;②若与BC交于点G,连接,交EP与H,如图2,同理可得,EG=,根据三角形中位线定理可得AP=4=AC,此时点P与点C重合,从而可求出BP.

详解:因为Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=4,E为斜边AB的中点,

所以AB=8,AE=4,BC=,
①若PA’与AB交于点F,连接A’B,如图1.

由折叠可得AE=AE’=4,.
因为点E是AB的中点,

由题可得,
,
,
所以四边形A’EPB是平行四边形,
所以BP=A’E=4;
②若EA’与BC交于点G,连接AA’,交EP与H,如图2.
．
同理可得,

因为
所以,

所以点P与点C重合,

所以BP=BC=,
故答案为4或