Question

【题目】已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．

（1）若CE=1，求BC的长；
（2）求证：AM=DF+ME．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，

∴∠1=∠ACD，

∵∠1=∠2，

∴∠ACD=∠2，

∴MC=MD，

∵ME⊥CD，

∴CD=2CE，

∵CE=1，

∴CD=2，

∴BC=CD=2；

（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，

∴BF=CF= BC，

∴CF=CE，

在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，

∴∠ACB=∠ACD，

在△CEM和△CFM中，

∵ ，

∴△CEM≌△CFM（SAS），

∴ME=MF，

延长AB交DF的延长线于点G，

∵AB∥CD，

∴∠G=∠2，

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠G，

∴AM=MG，

在△CDF和△BGF中，

∵ ，

∴△CDF≌△BGF（AAS），

∴GF=DF，

由图形可知，GM=GF+MF，

∴AM=DF+ME．

【解析】（1）根据菱形和等腰三角形的性质，求出BC=CD；（2）根据菱形的性质得到△CEM≌△CFM、△CDF≌△BGF，根据全等三角形的对应边相等得到ME=MF、GF=DF，由图形可知，得到AM=DF+ME．
【考点精析】本题主要考查了菱形的性质的相关知识点，需要掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半才能正确解答此题．