Question

【题目】已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m+2=0有两个不等的实数根x1和x2
（1）求m的取值范围并证明x1x2=m+2；
（2）若|x1﹣x2|=2，求m的值．

Answer 1

【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m+2=0有两个不等的实数根x1和x2 ，
所以△=（﹣2）2﹣4（m+2）=﹣4m﹣4＞0
解得m＜﹣1，
根据求根公式，
∴；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2=2，x1x2=m+2，
∵|x1﹣x2|=2，
∴（x1﹣x2）2=4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2=4，
∴4﹣4（m+2）=4，
解得m=﹣2．
【解析】（1）根据判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4（m+2）=﹣4m﹣4＞0解得m＜﹣1，再利用求根公式解方程，然后计算x1x2；
（2）先根据根与系数的关系得x1+x2=2，x1x2=m+2，再把|x1﹣x2|=2两边平方得到（x1﹣x2）2=4，接着利用完全平方公式变形得到（x1+x2）2﹣4x1x2=4，所以4﹣4（m+2）=4，
然后解关于m的方程即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解求根公式的相关知识，掌握根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根，以及对根与系数的关系的理解，了解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．