Question

【题目】如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE交AE延长线于D，DM⊥AC交AC的延长线于M，连接CD，以下四个结论：

①∠ADC=45°；②BD=AE；③AC＋CE=AB；④AC＋AB=2AM.其中正确的结论有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

①过E作EQ⊥AB于Q.根据角平分线定义和勾股定理及等腰直角三角形性质得AB＝AQ＋BQ＝AC＋CE.②作∠ACN＝∠BCD，交AD于N.证△ACN≌△BCD(ASA)，得CN＝CD.根据等腰直角三角形性质得AN＝CN，∠NCE＝∠AEC＝67.5°，CN＝NE，CD＝AN＝EN＝AE；③过D作DH⊥AB于H，根据等腰三角形性质和角平分线定义，△DCM≌△DBH(AAS)，BH＝CM.由勾股定理得AM＝AH，所以AC＋AB＝AC＋AH＋BH＝AC＋AM＋CM＝2AM.

过E作EQ⊥AB于Q.

∵∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，

∴CE＝EQ.

∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠CBA＝∠CAB＝45°.

∵EQ⊥AB，

∴∠EQA＝∠EQB＝90°.

由勾股定理得AC＝AQ，

∴∠QEB＝45°＝∠CBA，

∴EQ＝BQ，

∴AB＝AQ＋BQ＝AC＋CE，

∴①③正确；

作∠ACN＝∠BCD，交AD于N.

∵∠CAD＝∠CAB＝22.5°＝∠BAD，

∴∠DBA＝90°－22.5°＝67.5°，

∴∠DBC＝67.5°－45°＝22.5°，

∴∠DBC＝∠CAD.在△ACN和△BCD中，

∴△ACN≌△BCD(ASA)，CN＝CD.

∵∠ACN＋∠NCE＝90°，

∴∠NCB＋∠BCD＝90°，

∴∠CND＝∠CDN＝45°，

∴∠ACN＝45°－22.5°＝22.5°＝∠CAN，

∴AN＝CN，

∴∠NCE＝∠AEC＝67.5°，

∴CN＝NE，

∴CD＝AN＝EN＝AE，

∴②正确；

过D作DH⊥AB于H，

∵∠MCD＝∠CAD＋∠CDA＝67.5°，∠DBA＝90°－∠DAB＝67.5°，

∴∠MCD＝∠DBA.

∵AE平分∠CAB，DM⊥AC，DH⊥AB，

∴DM＝DH.在△DCM和△DBH中，

∴△DCM≌△DBH(AAS)，

∴BH＝CM.

由勾股定理得AM＝AH，

∴AC＋AB＝AC＋AH＋BH＝AC＋AM＋CM＝2AM，

∴④正确．

故选：D