Question

【题目】如图，已知一次函数y1=x+b的图象l与二次函数y2=﹣x2+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣，0）．

（1）求二次函数的最大值；

（2）设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程=0的根，求a的值；

（3）若点F、G在图象C′上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）；（3）P（，0）

【解析】试题分析: （1）首先利用待定系数法求出二次函数解析式，然后求出其最大值；
（2）联立y1与y2，求出点C的坐标为C（， ），因此使y2>y1成立的x的取值范围为0<x<，得s=1+2+3=6；将s的值代入分式方程，求出a的值；

（3）如图，四边形DEFG是一个梯形，将其面积用含有未知数的代数式表示出来，这个代数式是一个二次函数，根据其最值求出未知数的值，进而得到面积最大时点D、E的坐标．

试题解析:

解：（1）∵二次函数y2=﹣x2+mx+b经过点B（0，1）与A（2﹣，0），

∴,

解得,

∴l：y1=x+1；

C′：y2=﹣x2+4x+1．

∵y2=﹣x2+4x+1=﹣（x﹣2）2+5，

∴ymax=5；

（2）联立y1与y2得： x+1=﹣x2+4x+1，解得x=0或x=，

当x=时，y1=×+1=，

∴C（， ）．

使y2＞y1成立的x的取值范围为0＜x＜，

∴s=1+2+3=6．

代入方程得,

解得a=；

经检验a=是分式方程的解．

（3）∵点D、E在直线l：y1=x+1上，

∴设D（p， p+1），E（q， q+1），其中q＞p＞0．

如答图1，过点E作EH⊥DG于点H，则EH=q﹣p，DH=（q﹣p）．

在Rt△DEH中，由勾股定理得：EH2+DH2=DE2，即（q﹣p）2+[（q﹣p）]2=（）2，

解得q﹣p=2，即q=p+2．

∴EH=2，E（p+2， p+2）．

当x=p时，y2=﹣p2+4p+1，

∴G（p，﹣p2+4p+1），

∴DG=（﹣p2+4p+1）﹣（p+1）=﹣p2+p；

当x=p+2时，y2=﹣（p+2）2+4（p+2）+1=﹣p2+5，

∴F（p+2，﹣p2+5），

∴EF=（﹣p2+5）﹣（p+2）=﹣p2﹣p+3．

S四边形DEFG=（DG+EF）EH= [（﹣p2+p）+（﹣p2﹣p+3）]×2=﹣2p2+3p+3

∴当p=时，四边形DEFG的面积取得最大值，

∴D（， ）、E（， ）．

如答图2所示，过点D关于x轴的对称点D′，则D′（，﹣）；

连接D′E，交x轴于点P，PD+PE=PD′+PE=D′E，

由两点之间线段最短可知，此时PD+PE最小．

设直线D′E的解析式为：y=kx+b，

则有，

解得

∴直线D′E的解析式为：y=x﹣．

令y=0，得x=，

∴P（，0）．

点睛: 本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、函数最值、分式方程的解、勾股定理、轴对称最短路线等知识点，涉及考点众多，难度较大．本题难点在于第（3）问，涉及两个最值问题，第1个最值问题利用二次函数解决，第2个最值问题利用几何性质解决．