【题目】如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．

（1）如图①，当 时，求 的值；
（2）如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF= OA；
（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG= BG．

参考答案：

【答案】
（1）

解：∵ ，

∴ ．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴△CEF∽△ADF，

∴ ，

∴ = ，

∴ = = ；


（2）

证明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF，

又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线．

∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，

∴∠ADF=∠AFD，∴AD=AF，

在直角△AOD中，根据勾股定理得：AD= = OA，

∴AF= OA


（3）

证明：连接OE．

∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点．

∴点O是BD的中点．

又∵点E是BC的中点，

∴OE是△BCD的中位线，

∴OE∥CD，OE= CD，

∴△OFE∽△CFD．

∴ = = ，

∴ = ．

又∵FG⊥BC，CD⊥BC，

∴FG∥CD，

∴△EGF∽△ECD，

∴ = = ．

在直角△FGC中，∵∠GCF=45°．

∴CG=GF，

又∵CD=BC，

∴ = = ，

∴ = ．

∴CG= BG．


【解析】（1）利用相似三角形的性质求得EF与DF的比值，依据△CEF和△CDF同高，则面积的比就是EF与DF的比值，据此即可求解；（2）利用三角形的外角和定理证得∠ADF=∠AFD，可以证得AD=AF，在直角△AOD中，利用勾股定理可以证得；（3）连接OE，易证OE是△BCD的中位线，然后根据△FGC是等腰直角三角形，易证△EGF∽△ECD，利用相似三角形的对应边的比相等即可证得．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方，以及对相似三角形的应用的理解，了解测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．

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