Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：点D是AB的中点；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）若⊙O的直径为18，cosB= ，求DE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接CD，

∵BC为⊙O的直径，∴CD⊥AB，

又∵AC=BC，

∴AD=BD，即点D是AB的中点

（2）解：DE是⊙O的切线．

证明：连接OD，则DO是△ABC的中位线，

∴DO∥AC，

又∵DE⊥AC，

∴DE⊥DO即DE是⊙O的切线

（3）解：∵AC=BC，∴∠B=∠A，

∴cosB=cosA= ，

∵cosB= ，BC=18，

∴BD=6，

∴AD=6，

∵cosA= ，

∴AE=2，

在Rt△AED中，DE= ．

【解析】（1）连接CD，由BC为直径可知CD⊥AB，又BC=AC，由等腰三角形的底边“三线合一”证明结论；（2）连接OD，则OD为△ABC的中位线，OD∥AC，已知DE⊥AC，可证DE⊥OC，证明结论；（3）连接CD，在Rt△BCD中，已知BC=18，cosB= ，求得BD=6，则AD=BD=6，在Rt△ADE中，已知AD=6，cosA=cosB= ，可求AE，利用勾股定理求DE．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用勾股定理的概念和圆周角定理的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．