Question

【题目】如图，在中，平分交于点，过点作交于点，过作交于．

（1）若，求的度数；

（2）若，求的长度．

Answer 1

【答案】（1）∠CFD＝63°；（2）AD=

【解析】

（1）根据三角形的内角和以及平行线的性质解答即可；

（2）勾股定理求出AC的长度，根据角平分线的性质得到DC=DE，证明Rt△BED≌Rt△BCD（HL），得到BE=BC=5，从而得出AE=8，设DE=DC=x，则AD=12-x，在Rt△ADE中利用勾股定理，列出方程解出x，即可求出AD．

解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，

∴∠ABC=90°-36°=54°，

∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD＝∠DBC＝27°，
∴∠BDC＝63°，

∵DE⊥AB，

∴∠ADE=90°-36°=54°，
∵CF∥BD，
∴∠DCF＝∠BDC＝63°．
∵∠CDF＝∠ADE＝54°，
∴∠CFD＝180°∠DCF∠CDF＝63°．

（2）∵在Rt△ABC中，AB=13，BC=5，

∴AC=，

∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，

∴DC=DE，

在Rt△BED与Rt△BCD中，

DE=DC，BD=BD，

∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL）

∴BE=BC=5，

∴AE=13-5=8，

设DE=DC=x，

则AD=12-x，

在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，即82+x2=(12-x)2，解得：x=，

∴AD=12-=．