Question

【题目】已知顶点为A（2，﹣1）的抛物线与y轴交于点B，与x轴交于C、D两点，点C坐标（1，0）；

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）连接AB、BD、DA，求的大小；

（3）点P在x轴正半轴上位于点D的右侧，如果∠APB=45°，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3 （2） （3）点P（3+，0）．

【解析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-1,将点C的坐标代入可求得a的值，从而可得到抛物线的解析式；

（2）先求得点B、C、D的坐标，由点A、B、D的坐标可得到∠BDO=∠ADO=45°，从而可证明△ABD为直角三角形，然后依据两点间的距离公式可求得AB和BD的长，最后依据余弦定理的定义求解即可；

（3）先证明△ADP∽△PDB，依据相似三角形的性质可得到DP2=BD×AD，从而可求得DP的长，故此可得到点P的坐标.

解：（1）∵顶点为A（2，﹣1）的抛物线经过点C（1，0），

∴可以假设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，

把（1，0）代入可得a=1，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．

（2）令y=0，x2﹣4x+3=0，解得x=1或3，

∴C（1，0），D（3，0），令x=0，y=3,

∴B（0,3）∵OB=OD=3，∴∠BDO=45°，

∵A（2，﹣1），D（3，0），

∴∠ADO=45°，∴∠BDA=90°，∴·

（3）∵∠BDO=∠DPB+∠DBP=45°，∠APB=∠DPB+∠DPA=45°，∴∠DBP=∠APD，

∵∠PDB=∠ADP=135°，∴△PDB∽△ADP，∴PD2=BDAD=3×=6，

∴PD=，∴OP=3+，∴点P（3+，0）．

“点睛”本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、锐角三角函数的定义、学生三角形的性质和判断，证得△ABD为直角三角形是解答问题（2）的关键；证得△ADP∽△PDB是解答问题（3）的关键.