Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．

（1）求证：PC=PE；
（2）图1中与∠EAP相等的角是和 ， 则可求∠CPE=°；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°，连接CE，请直接写出∠CPE=°．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴BA=BC，∠ABD=∠CBD=45°，

在△ABP和△CBP中

，

∴△ABP≌△CBP，

∴PA=PC，

∵PA=PE，

∴PC=PE；

（2）∠E,∠PCD,90
（3）60
【解析】（2）解：∵△ABP≌△CBP，

∴∠PAB=∠PCB，

∴∠PAD=∠PCD，

∵PA=PE，

∴∠PAE=∠E，

∴∠PCD=∠E，

而∠DFE=∠PFC，

∴∠CPF=∠EDF=90°，

即图1中与∠EAP相等的角是∠E和∠PCD；

⑶∵四边形ABCD为菱形，

∴BA=BC，∠ABD=∠CBD=60°，∠ADC=∠ABC=120°，

∴∠EDC=60°，

在△ABP和△CBP中

，

∴△ABP≌△CBP，

∴PA=PC，∠PAB=∠PCB，

∴∠PAD=∠PCD，

∵PA=PE，

∴∠PAD=∠PED，

∴∠PCD=∠PED，

而∠DFE=∠PFC，

∴∠CPF=∠EDF=60°．

故答案为∠E，∠PCD，90，60．

（1）四边形ABCD为正方形，得到BA=BC，∠ABD=∠CBD=45°，△ABP≌△CBP，得到PA=PC，由PA=PE，得到PC=PE；（2）由△ABP≌△CBP，得到∠PAB=∠PCB，∠PAD=∠PCD，由PA=PE，得到∠PAE=∠E，∠PCD=∠E，而∠DFE=∠PFC，得到∠CPF=∠EDF=90°，即图1中与∠EAP相等的角是∠E和∠PCD；⑶由四边形ABCD为菱形，得到BA=BC，∠ABD=∠CBD=60°，∠ADC=∠ABC=120°，∠EDC=60°，△ABP≌△CBP，得到PA=PC，∠PAB=∠PCB，∠PAD=∠PCD，由PA=PE，得到∠PAD=∠PED，∠PCD=∠PED，而∠DFE=∠PFC，得到∠CPF=∠EDF=60°；故答案为∠E，∠PCD，90，60．