Question

【题目】已知，在等腰△ABC中，AB=AC，F为AB边上的中点，延长CB至D，使得BD=BC，连接AD交CF的延长线于E．

（1）如图1，若∠BAC=60°，求证：△CED为等腰三角形

（2）如图2，若∠BAC≠60°，（1）中结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．

（3）如图3，当 =　 　是（直接填空），△CED为等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）成立．理由见解析；（3）．

【解析】试题分析：（1）如图1，先证明△ABC为等边三角形得到∠ACB=∠ABC=60°，AB=BC，再证明∠D=∠DCE=30°，然后根据等腰三角形的判定定理得到△CED为等腰三角形；

（2）延长CF到M使FM=CF，连接AM，如图2，先证明△AMF≌△BCF得到AM=BC，∠M=∠BCF，再证明△AMC≌△BDA得到∠M=∠D，所以∠D=∠DCE，于是可判断△CED为等腰三角形；

（3）作BH⊥CE于H，连接BE，如图3，由（2）得△CED为等腰三角形，当∠BCE=45°时，△CED为等腰直角三角形，则EB⊥CD，设BH=x，则CH=EH=x，BC=x，易证得△AEF≌△BHF，则EF=HF=HE=x，再利用勾股定理计算出BF=x，所以AB=2BF=x，然后计算出的值．

试题解析：（1）如图1，

∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，AB=BC，

而BC=BD，∴AB=BD，∴∠D=∠BAD，

而∠ABC=∠D+∠BAD，∴∠D=30°，

∵F点AB的中点，∴CF平分∠ACB，∴∠ACE=∠DCE=30°，∴∠D=∠DCE，

∴△CED为等腰三角形；

（2）成立．

延长CF到M使FM=CF，连接AM，如图2，

在△AMF和△BCF中 ，∴△AMF≌△BCF，∴AM=BC，∠M=∠BCF，

∵BC=BD，∴AM=BD，

∵∠M=∠BCF，∴AM∥CD，∴∠MAC+∠ACB=180°，

而∠DBA+∠ABC=180°，∠ABC=∠ACB，∴∠MAC=∠DBA，

在△AMC和△BDA中 ，∴△AMC≌△BDA，∴∠M=∠D，∴∠D=∠DCE，

∴△CED为等腰三角形；

（3）作BH⊥CE于H，连接BE，如图3，

由（2）得△CED为等腰三角形，当∠BCE=45°时，△CED为等腰直角三角形，

∴EB⊥CD，

设BH=x，则CH=EH=x，BC=x，易证得△AEF≌△BHF，则EF=HF=HE=x，

在△BFH中，BF= =x，∴AB=2BF=x，∴==．

故答案为．