Question

【题目】已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（﹣1，0）．

（1）求点C的坐标；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；
（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；
（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得△MPC（P为上述（3）问中使S最大时的点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在Rt△ABC中，AO⊥BC，OA=2，OB=1，

则：OC= =4，

∴C（4，0）．

（2）

解：设抛物线的解析式：y=a（x+1）（x﹣4），代入点A的坐标，得：

a（0+1）（0﹣4）=2，a=﹣

∴抛物线的解析式：y=﹣ （x+1）（x﹣4）=﹣ x2+ x+2，对称轴是：直线x=

（3）

解：设直线AC的解析式为：y=kx+2，代入点C（4，0），得：

4k+2=0，k=﹣

∴直线AC：y=﹣ x+2；

过点P作PQ⊥x轴于H，交直线AC于Q，设P（m，﹣ m2+ m+2）、

∴S梯形AOHP= [2+（﹣ m2+ m+2）]m=﹣ m3+ m2+2m，

S△PHC= （4﹣m）（﹣ m2+ m+2）= m3﹣ m2+2m+4，

S△AOC= ×4×2=4，

S=S梯形AOHP+S△PHC﹣S△AOC=﹣m2+4m=﹣（m﹣2）2+4，

∴当m=2，即 P（2，3）时，S的值最大

（4）

解：依题意，设M（ ，b），已知P（2，3）、C（4，0），则有：

MP2=b2﹣6b+ 、MC2=b2+ 、PC2=13；

当MP=MC时，b2﹣6b+ =b2+ ，解得 b= ；

当MP=PC时，b2﹣6b+ =13，解得 b= ；

当MC=PC时，b2+ =13，解得 b=± ；

综上，存在符合条件的M点，且坐标为 （ ， ）、（ ， ）、（ ， ）、（ ， ）、（ ，﹣ ）．

【解析】（1）Rt△ABC中，AO⊥BC，且知道了OA、OB的长，由射影定理能求出OC的长，也就得到了点C的坐标．（2）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式，由x=﹣ 能求出抛物线的对称轴．（3）首先求出直线AC的解析式，过点P作x轴的垂线，交直线AC于Q，在知道抛物线和直线AC解析式的情况下，用m表示出点P、Q的坐标，两点纵坐标差的绝对值即为线段PQ的长，而S= ACPQ，据此求得关于S、m的函数关系式，根据函数的性质即可确定S最大时点P的坐标．（4）首先设出点M的坐标，然后列出△MPC的三边长，若该三角形是等腰三角形，根据①MP=MC、②MP=PC、③MC=PC列出等式求解即可．