Question

【题目】如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，点D为AB中点，且OD⊥AB，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 度．

Answer 1

【答案】108

【解析】

试题分析：连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．如图，连接OB、OC，∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线， ∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°，

又∵AB=AC， ∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣54°）=63°，

∵DO是AB的垂直平分线， ∴OA=OB， ∴∠ABO=∠BAO=27°，

∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°， ∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，

∴△AOB≌△AOC（SAS）， ∴OB=OC， ∴点O在BC的垂直平分线上，

又∵DO是AB的垂直平分线， ∴点O是△ABC的外心， ∴∠OCB=∠OBC=36°，

∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合， ∴OE=CE，∴∠COE=∠OCB=36°，

在△OCE中，∠OEC=180°﹣∠COE﹣∠OCB=180°﹣36°﹣36°=108°．