Question

【题目】已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．

（1）如图1所示，求证： 且

（2）将△COD绕点O旋转到图2、图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）首先证明△AOD≌△BOC（SAS），利用全等三角形的性质得到BC=AD，再利用直角三角形斜边中线的性质即可得到OH=BC=AD，然后通过全等三角形对应角相等以及直角三角形两锐角互余证明OH⊥AD；

（2）如图2中，延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，通过证明△BEO≌△ODA，可得OH=OE=AD以及∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°，问题得证；如图3中，延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G，同理可证OH=OE=AD，∠DAO+∠AOG=∠EOB+∠AOG=90°．

（1）证明：如图1中，∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，

∴OC=OD，OA=OB，

在△AOD与△BOC中，

∵OA=OB，∠AOD=∠BOC，OD=OC，

∴△AOD≌△BOC（SAS），

∴BC=AD

∵H是BC中点，

∴OH=BC=AD．

∵△AOD≌△BOC

∴∠ADO=∠BCO，∠OAD=∠OBC，

∵点H为线段BC的中点，

∴∠OBH=∠HOB=∠OAD，

又∵∠OAD+∠ADO=90°，

∴∠ADO+∠BOH=90°，

∴OH⊥AD；

（2）解：结论：OH⊥AD，OH=AD

证明：如图2中，延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，

易证△BEO≌△ODA，

∴OE=AD，∴OH=OE=AD．

由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO，

∴∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°，

∴OH⊥AD．

如图3中，结论不变．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G．

易证△BEO≌△ODA，

∴OE=AD，∴OH=OE=AD．

由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO，

∴∠DAO+∠AOG=∠EOB+∠AOG=90°，

∴∠AGO=90°，

∴OH⊥AD．