Question

【题目】已知：P是正方形ABCD对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，E、F分别为垂足．

（1）求证：DP=EF．

（2）试判断DP与EF的位置关系并说明理由．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

试题分析：（1）连结PB，由正方形的性质得到BC=DC，∠BCP=∠DCP，接下来证明△CBP≌△CDP，于是得到DP=BP，然后证明四边形BFPE是矩形，由矩形的对角线相等可得到BP=EF，从而等量代换可证得问题的答案；

（2）延长DP交EF于G，延长EP交CD于H，连接PB．由（1）可知△CBP≌△CDP，依据全等三角形对应角相等可得到∠CDP=∠CBP，由四边形EPFB是矩形可证明∠CBP=∠FEP，从而得到∠HDP=∠FEP，由∠DPH+∠PDH=90°可证明∠EPG+∠PEG=90°，从而可得到问题答案．

证明：（1）如图1所示：连结PB．

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°．

∵在△CBP和△CDP中，，

∴△CBP≌△CDP．

∴DP=BP．

∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠B=90°

∴四边形BFPE是矩形．

∴BP=EF．

∴DP=EF．

（2）DP⊥EF．

理由：如图2所示：延长DP交EF于G，延长EP交CD于H，连接PB．

∵△CBP≌△CDP，

∴∠CDP=∠CBP．

∵四边形BFPE是矩形，

∴∠CBP=∠FEP．

∴∠CDP=∠FEP．

又∵∠EPG=∠DPH．

∴∠EGP=∠DHP．

∵PE⊥AB，AB∥DC

∴PH⊥DC．即∠DHP=90°．

∴∠EGP=∠DHP=90°

∴PG⊥EF，即DP⊥EF．