Question

【题目】计算下列各题
（1）如图1，△ABC和△E中，AB=CB，DB=EB，∠ABC=∠DBE=90°，D点在AB上，连接AE、DC．则AE和CD有什么数量和位置关系？
（2）类比： 若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，如图2所示，问图2中的线段AE，CD之间的数量和位置关系还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：AE=CD，AE⊥CD，

理由：延长CD交AE于F，

在△AEB和△CDB中，

∵ ，

∴△AEB≌△CDB（SAS）

∴AE=CD，

∠EAB=∠DCB，

∵∠DCB+∠CDB=90°，

∠ADF=∠CDB，

∴∠ADF+∠DAF=90°，

∴∠AFD=90°，

∴AE⊥CD

（2）解：解：（2）AE=CD，AE⊥CD，

∵∠DBE=∠ABC=90°，

∴∠ABE=∠DBC，

在△AEB和△CDB中，

∴△AEB≌△CDB，

∴AE=CD，∠EAB=∠DCB，

∵∠DCB+∠COB=90°，∠AOK=∠COB，

∴∠KOA+∠KAO=90°，

∴∠AKC=90°，

∴AE⊥CD．

【解析】（1）延长CD交AE于K，根据全等三角形的性质得到AE=CD，∠EAB=∠DCB，由于∠DCB+∠CDB=90°，于是得到结论；（2）由于∠DBE=∠ABC=90°，得到∠ABE=∠DBC，根据全等三角形的性质得到AE=CD，∠EAB=∠DCB，等量代换得到∠KOA+∠KAO=90°，于是得到结论．
【考点精析】掌握旋转的性质是解答本题的根本，需要知道①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了．