Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B，分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC，BD，CD，得平行四边形ABDC．

（1）直接写出点C，D的坐标；

（2）若在直线CD上存在点M，连接MA，MB，使S△MAB＝2S△MBD，求出点M的坐标；

（3）若点P在直线BD上运动，连接PC，PO，请画出图形，写出∠CPO，∠DCP，∠BOP的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（0，2），D（4，2）；（2）M（2，2）或（6，2）；（3）①当点P在BD上，∠CPO＝∠DCP+∠BOP，见解析；②当点P在线段BD的延长线上时，∠CPO＝∠BOP﹣∠DCP，见解析；③当点P在线段DB的延长线上时，∠CPO＝∠DCP﹣∠BOP，见解析.

【解析】

（1）根据向上平移纵坐标加，向右平移横坐标加求出点C、D的坐标即可，

（2）先求出S△MAB＝4，进而判断出SABCD＝2S△MAB＝2S△BCD，进而判断出S△MBD＝2，再分两种情况即可得出结论；

（3）分三种情况，根据平移的性质可得AB∥CD，再过点P作PE∥AB，根据平行公理可得PE∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠DCP＝∠CPE，∠BOP＝∠OPE即可得出结论．

解：（1）∵将A（﹣1，0），B（3，0）分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，

∴C（0，2），D（4，2）；

（2）∵AB＝4，CO＝2，

∴S△MAB＝AB×OC＝4，

∵SABCD＝AB×OC＝8＝2S△MAB＝2S△BCD，

∵S△MAB＝2S△MBD，

∴S△MBD＝2，

当点M在边CD上时，

∴点M是CD的中点，

∴M（2，2），

当点M在CD的延长线上时，

利用对称性得，M'（6，2），

∴M（2，2）或（6，2）；

（3）①当点P在BD上，如图1，

由平移的性质得，AB∥CD，

过点P作PE∥AB，则PE∥CD，

∴∠DCP＝∠CPE，∠BOP＝∠OPE，

∴∠CPO＝∠CPE+∠OPE＝∠DCP+∠BOP，

②当点P在线段BD的延长线上时，如图2，

由平移的性质得，AB∥CD，

过点P作PE∥AB，则PE∥CD，

∴∠DCP＝∠CPE，∠BOP＝∠OPE，

∴∠CPO＝∠OPE﹣∠CPE＝∠BOP﹣∠DCP，

③当点P在线段DB的延长线上时，如图3，

同（2）的方法得出∠CPO＝∠DCP﹣∠BOP．