Question

【题目】如图在平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y=kx+2k与x轴交于点C，与直线l1交于点P．

（1）直线l2是否经过x轴上一定点？若经过，请直接写出定点坐标；若不经过，请说明理由；

（2）若S△ACP=8，求直线l2的函数关系式；

（3）过点M（0，6）作平行于x轴的直线l3，点Q为直线l3上一个动点，当△QAB为等腰三角形时，求所有点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）. 直线L2经过点（﹣2，0）．（2）y=x+1；（3）点Q的坐标为（9，6）或（3，6）或（6，6）或（，6）．

【解析】（1）∵y=kx+2k，

∴y=k（x+2）．

∴当x=﹣2时，y=0．

∴直线L2经过点（﹣2，0）．

（2）∵令y1=0得到﹣x+3=0，解得x=6，

∴A（6，0）．

∵由（1）可知：点C的坐标为（﹣2，0）．

∴AC=8．

∵S△ACP=8，

∴=8，即=8．

解得：Py=2．

∵将y=2代入﹣x+3=0得：﹣x+3=2，解得x=2，

∴点P的坐标为（2，2）．

将点P的坐标代入y=kx+2k得：2k+2k=2，解得：k=．

∴直线L2的解析式为．

（3）∵将x=0代入y=﹣x+3得：y=3，

∴点B的坐标为（0，3）．

设点Q的坐标为（n，6）．

①当QB=QA时，由两点间的距离公式得：n2+（6﹣3）2=（6﹣n）2+（6﹣0）2．

解得：n=．

∴点Q的坐标为（，6）．

②当BQ=BA时，由两点间的距离公式得：n2+（6﹣3）2=（6﹣0）2+（3﹣0）2．

解得：n=6或n﹣6．

∴点Q的坐标为（6，6）或（﹣6，6）．

∵将Q（﹣6，6）代入y=﹣得：y=﹣（﹣6）+3=6，

∴点Q在直线AB上，此时A、B、Q不能构成三角形．

∴Q（﹣6，6）（舍去）．

∴点Q的坐标为（6，6）．

③当AB=AQ时，由两点间的距离公式得：（n﹣6）2+（6﹣0）2=（6﹣0）2+（3﹣0）2．

解得：n=9或n=3．

∴点Q的坐标为（9，6）或（3，6）．

综上所述，点Q的坐标为（9，6）或（3，6）或（6，6）或（，6）．