Question

【题目】如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA=PB．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）若∠APC=3∠BPC，求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）如图，连接OP、OB，证明△PAO≌△PBO，根据全等三角形对应角相等可得∠PBO=∠PAO=90°，据此即可证得；

（2）连接BC，设OP交AB于K，首先证明BC=2OK，设OK=a，则BC=2a，再证明BC=PB=PA=2a，由△PAK∽△POA，可得PA2=PKPO，设PK=x，则有：x2+ax﹣4a2=0，解得x=（负根已经舍弃），推出PK=，由PK∥BC，可得.

（1）如图，连接OP、OB，

∵PA是⊙O的切线，

∴PA⊥OA，

∴∠PAO=90°，

∵PA=PB，PO=PO，OA=OB，

∴△PAO≌△PBO．

∴∠PAO=∠PBO=90°，

∴PB⊥OB，

∴PB是⊙O的切线；

（2）如图，连接BC，设OP交AB于K，

∵AB是直径，

∴∠ABC=90°，

∴AB⊥BC，

∵PA、PB都是切线，

∴PA=PB，∠APO=∠BPO，

∵OA=OB，

∴OP垂直平分线段AB，

∴OK∥BC，

∵AO=OC，

∴AK=BK，

∴BC=2OK，设OK=a，则BC=2a，

∵∠APC=3∠BPC，∠APO=∠OPB，

∴∠OPC=∠BPC=∠PCB，

∴BC=PB=PA=2a，

∵△PAK∽△POA，

∴PA2=PKPO，设PK=x，

则有：x2+ax﹣4a2=0，

解得x=（负根已经舍弃），

∴PK=，

∵PK∥BC，

∴.